الفصل الثاني: العلوم الشعبية حول فضاء هيلبرت
مرحباً بكم في قناة العلوم الشعبية الداو!
في النص الرئيسي كان الاستخدام الثاني للبطلنا وانغ تشي لـ "الإصبع الذهبي " هو فضاء هيلبرت الذي نشأ من ديفيد هيلبرت ، عالم الرياضيات العظيم من الأرض.
لأنني لا أريد زيادة عدد كلمات النص الرئيسي ، فأنا ، الداوى المتواضع ، أنشر هذه المعرفة العلمية الشائعة هنا! قد يرغب القراء المهتمون بإلقاء نظرة.
في الواقع ، لا وجود لفضاء ألبرت و بل هو أداة مجردة تستخدم في حساب التفاضل والتكامل ، وتسمى أيضاً فضاء الطور.
يجب على كل صديق درس الرياضيات في المدرسة الثانوية أن ينشئ مستوى ديكارتياً ثنائي الأبعاد: ارسم محور X ومحور ي عمودياً ، وأضف الأسهم والتدرجات (ما يسمى عادةً بنظام الإحداثيات الديكارتية). داخل نظام المستوى هذا ، يمكن تمثيل كل نقطة بإحداثيات تحتوي على متغيرين (ش ، ي) ، مثل (1 ، 2) أو (4.3 ، 5.4). يمثل هذان الرقمان إسقاط النقطة على المحور X والمحور ي ، على التوالي. و بالطبع ، ليس من الضروري استخدام نظام إحداثيات ديكارتية و يمكن للمرء أيضاً استخدام الإحداثيات القطبية أو أنظمة إحداثيات أخرى لوصف نقطة. ولكن على أي حال بالنسبة للمستوى ثنائي الأبعاد ، يمكن لعددين تحديد نقطة بشكل فريد. لوصف نقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد ، ستحتاج إحداثياتنا إلى احتواء ثلاثة أرقام ، على سبيل المثال ، (1 ، 2 ، 3). حيث تمثل هذه الأرقام الثلاثة إسقاطات النقطة في ثلاثة أبعاد متعامدة بشكل متبادل.
لنوسّع نطاق تفكيرنا: كيف نصف نقطة في فضاء رباعي الأبعاد ؟ من الواضح أننا سنستخدم إحداثيات بأربعة متغيرات ، مثل (1 ، 2 ، 3 ، 4). و إذا كنا نستخدم نظام إحداثيات ديكارتية ، فإن هذه الأرقام الأربعة ستمثل إسقاطات النقطة في أربعة أبعاد متعامدة ، وينطبق الأمر نفسه على الفضاء ذي N بُعد. لا داعي لإرهاق عقلك في محاولة تصور كيف يمكن لفضاء في أربعة أو حتى أحد عشر بُعداً أن يكون متعامداً في أربعة أو أحد عشر اتجاهاً و في الواقع ، هذا مجرد نظام افتراضي نبنيه في الرياضيات.
ما يهمنا هو: أنه يمكن وصف نقطة في فضاء ذي أبعاد N بشكل فريد بواسطة N متغير ، وعلى العكس من ذلك يمكن تغليف N متغير بواسطة نقطة في فضاء ذي أبعاد N.
الآن دعونا نعود إلى العالم المادي ، كيف نصف جسيماً عادياً ؟ في كل لحظة T ، يجب أن يكون له إحداثي موضع معين (تش1 ، تش2 ، تش3) وأن يكون له أيضاً زخم محدد ب. الزخم ، وهو السرعة مضروبة في الكتلة ، هو متجه وله مركبات في كل اتجاه بعدي. وبالتالي ، لوصف الزخم ب ، نحتاج إلى ثلاثة أرقام: ب1 وب2 وب3 تمثل السرعة في ثلاثة اتجاهات. باختصار ، لوصف حالة الجسيم الفيزيائي تماماً في اللحظة T ، نحتاج إلى ستة متغيرات إجمالاً. و كما رأينا من قبل ، يمكن تلخيص هذه المتغيرات الستة بنقطة في الفضاء سداسي الأبعاد. وبالتالي ، مع وجود نقطة في الفضاء سداسي الأبعاد ، يمكننا وصف السلوك الكلاسيكي لجسيم فيزيائي عادي واحد. الفضاء عالي الأبعاد الذي نبنيه عن قصد هو فضاء طور النظام.
تخيل نظاماً مكوناً من جسيمين ، في كل لحظة T ، يجب وصف هذا النظام باثني عشر متغيراً. وبالمثل ، يمكننا استخدام نقطة في فضاء ذي اثني عشر بُعداً لاستبداله. و بالنسبة لبعض الأجسام العيانية ، مثل القطة ، تحتوي على عدد كبير جداً من الجسيمات. لنفترض وجود N جسيم ، لكن هذه ليست مشكلة جوهرية. ما زال بإمكاننا وصفها بنقطة في فضاء طور ذي 6ن بُعد. بهذه الطريقة ، يمكن معادلة أي نشاط لقطة خلال أي فترة زمنية بحركة نقطة في فضاء ذي 6ن بُعد (بافتراض ثبات عدد الجسيمات المكونة للقطة). نفعل ذلك ليس لأننا نشعر بالملل ، ولكن لأنه في الرياضيات ، يُعد وصف حركة نقطة حتى لو كانت نقطة واحدة في فضاء ذي 6ن بُعد ، أسهل من وصف قطة في الفضاء العادي. و في الفيزياء الكلاسيكية ، لمثل هذه النقطة في فضاء الطور التي تمثل النظام بأكمله ، يمكننا استخدام ما يسمى بمعادلات هاميلتون لوصفها والحصول على العديد من الاستنتاجات المفيدة.
— مقتطف من كتاب "قصة الفيزياء الكمومية " لكاو تيانيوان
